Participación 7 (Unidad I)

*Problema de Maximización*

Dos plantas abastecen a tres clientes con suministros médicos. Las GANANCIAS unitarias, junto con los suministros y demandas se dan en la siguiente tabla:

	1	2	3	Oferta
1	$35	$45	$70	35
2	$20	$25	$35	50
Demanda	10	10	10

Como podemos darnos cuenta, en el problema se nos habla de GANANCIAS, lo cual implica asociarlo a un problema de Maximización.

Como aquí nos estamos refiriendo a un problema de transporte que regularmente se refiere a un problema de Minimización de costos, la pregunta es:

¿Cómo cambian los criterios de los métodos que generan solución inicial?

Primero que nada plantearemos la tabla de transporte asociada al problema para ir analizando los diferentes puntos propuestos:

Como vemos, se tuvo que incluir una columna ficticia (4), debido a que el Problema no estaba equilibrado y había más oferta que demanda.

Método de la Esquina Noroeste:

Recordando como trabaja este Método, se hará la siguiente Analogía:

Para el Caso de Minimización, los valores asignados a cada casilla se iniciaban desde cualquier esquina, se saturaba sin tomar en cuenta los COSTOS.

Para el Caso de Maximización, para este caso, no se toma en cuenta las ganancias que puede producir el transporte del bien, por lo tanto decimos que SE UTILIZA EL MISMO CRITERIO.

En nuestro problema este sería:

Produciendo una ganancia de: Z=1500

Método de Costos Mínimos:

Las diferencias de trabajar con este método en el caso de maximización y minimización son:

Para el Caso de Minimización, se toma en cuenta el menor costo de las casillas para ir saturando la oferta o la demanda, según corresponda.

Para el Caso me Maximización, se aplicara lo contrario del nombre del Método, se revisará la ganancia mas alta que proporcione la casilla no saturada.

En nuestro problema esto es:

Aunque se realizó aplicando esta técnica que renombro como “Máximas Ganancias”, no es notorio debido a la naturaleza del problema ya que el resultado es el mismo: Las ganancias máximas Z=1500

Método de Vogel:

Para este caso hay más consideraciones que en los dos anteriores:

Para el Caso de Minimización, como en el apunte hecho en clase dice: “para cada renglón y columna evaluar una penalización entre los dos costos más pequeños de cada renglón y columna, se elegirá el renglón o columna con la penalización más grande, tomar a la casilla de ese renglón o columna que tenga el menor costo y asignar la oferta o demanda más grande posible, posteriormente actualice datos”

Para el Caso de Maximización, para cada renglón y columna, se evaluará una penalización entre las GANANCIAS MÁS GRANDES de cada renglón y columna, se elegirá la columna o renglón con la penalización MAS GRANDE, tomar la casilla de ese renglón o columna que tenga LA MAYOR GANANCIA y asignar la oferta o demanda más grande posible , posteriormente Actualizar Datos.

Para nuestro problema, el método se aplica de la siguiente forma:

Tampoco notamos mucho cambio debido a la naturaleza del problema. Las ganancias son de:

Z=1500

Criterio para determinar la Variable de Entrada:

Con el Método de Multiplicadores se obtiene el zj-cj , y tomado en cuenta que para obtenerlos se manejan de dos formas:

Para las Variables Básicas: u_i+v_j=c_ij

Para las Variables  NO Básicas: u_i+v_j-c_ij=0

Para el Caso de Minimización: De las variables NO Básicas, se escoge la casilla con el valor más positivo, así se ira determinando la variable de entrada hasta que todos los valores de las variables NO básicas sean <=0. Si se encuentra un cero implica que hay solución múltiple.

Para el Caso de Maximización: De las Variables NO Básicas, se escogerá la casilla con el valor MÁS NEGATIVO, así se irá determinando la variable de entrada, usando el mismo criterio que el método Simplex. Este proceso terminará hasta que los valores de las variables NO básicas sean >=0. Si se encuentra un cero implica que hay solución Múltiple.

La variable de entrada de nuestro problema se ilustra a continuación:

Como observamos todos lo valores de las Variables NO Básicas son Positivos, lo cual implica que la solución Actual es la Óptima.

Criterio para determinar la Variable de Salida:

Para el Caso de Minimización: Se realiza la construcción de un ciclo que inicia y termina en la variable de entrada, se toma un valor theta, que es el mínimo de los valores de las variables no básicas que tengan un  -theta. Entonces la variable de salida será aquella a la que corresponda dicho valor mínimo.

Para el Caso de Maximización: Se sigue exactamente el mismo proceso debido a que no afecta para nada el que se trate de un caso de maximización, análogamente con el método simplex.

Solución Óptima:

X11=10	X12=10	X13=10	X14=5
X21=0	X22=0	X23=0	X24=50
Z=1500

Interpretación:

Se deben enviar:

   v  10 suministros médicos de la planta 1 al cliente 1

   v  10 suministros médicos de la planta 1 al cliente 2

   v  10 suministros médicos de la planta 1 al cliente 3

Las columna ficticia de la tabla de transporte con valores: X₁₄=5 y X₂₄=50 son los 55 suministros médicos que tienen de más las plantas (oferta).