*Problema de Maximización*
Dos
plantas abastecen a tres clientes con suministros médicos. Las GANANCIAS
unitarias, junto con los suministros y demandas se dan en la siguiente tabla:
1
|
2
|
3
|
Oferta
|
|
1
|
$35
|
$45
|
$70
|
35
|
2
|
$20
|
$25
|
$35
|
50
|
Demanda
|
10
|
10
|
10
|
Como podemos darnos cuenta, en el
problema se nos habla de GANANCIAS, lo cual implica asociarlo a un problema de
Maximización.
Como aquí nos estamos refiriendo a un
problema de transporte que regularmente se refiere a un problema de Minimización
de costos, la pregunta es:
¿Cómo cambian los criterios de los
métodos que generan solución inicial?
Primero que nada plantearemos la tabla
de transporte asociada al problema para ir analizando los diferentes puntos
propuestos:
Como
vemos, se tuvo que incluir una columna ficticia (4), debido a que el Problema no
estaba equilibrado y había más oferta que demanda.
Método de la Esquina Noroeste:
Recordando como trabaja este Método, se
hará la siguiente Analogía:
Para el Caso de Minimización, los
valores asignados a cada casilla se iniciaban desde cualquier esquina, se
saturaba sin tomar en cuenta los COSTOS.
Para el Caso de Maximización, para
este caso, no se toma en cuenta las ganancias que puede producir el transporte
del bien, por lo tanto decimos que SE UTILIZA EL MISMO CRITERIO.
En nuestro problema este sería:
Produciendo
una ganancia de: Z=1500
Método de Costos Mínimos:
Las diferencias de trabajar con este método
en el caso de maximización y minimización son:
Para el Caso de Minimización, se
toma en cuenta el menor costo de las casillas para ir saturando la oferta o la
demanda, según corresponda.
Para el Caso me Maximización, se
aplicara lo contrario del nombre del Método, se revisará la ganancia mas alta
que proporcione la casilla no saturada.
En nuestro problema esto es:
Aunque se realizó aplicando esta
técnica que renombro como “Máximas Ganancias”, no es notorio debido a la
naturaleza del problema ya que el resultado es el mismo: Las ganancias máximas
Z=1500
Método de Vogel:
Para este caso hay más consideraciones
que en los dos anteriores:
Para el Caso de Minimización, como
en el apunte hecho en clase dice: “para cada renglón y columna evaluar una penalización
entre los dos costos más pequeños de cada renglón y columna, se elegirá el
renglón o columna con la penalización más grande, tomar a la casilla de ese
renglón o columna que tenga el menor costo y asignar la oferta o demanda más
grande posible, posteriormente actualice datos”
Para el Caso de Maximización, para
cada renglón y columna, se evaluará una penalización entre las GANANCIAS MÁS
GRANDES de cada renglón y columna, se elegirá la columna o renglón con la
penalización MAS GRANDE, tomar la casilla de ese renglón o columna que tenga LA
MAYOR GANANCIA y asignar la oferta o demanda más grande posible , posteriormente
Actualizar Datos.
Para nuestro problema, el
método se aplica de la siguiente forma:
Tampoco notamos mucho cambio debido a la naturaleza
del problema. Las ganancias son de:
Z=1500
Criterio para
determinar la Variable de Entrada:
Con
el Método de Multiplicadores se obtiene el zj-cj , y tomado en cuenta que para
obtenerlos se manejan de dos formas:
Para
las Variables Básicas: ui+vj=cij
Para
las Variables NO Básicas: ui+vj-cij=0
Para
el Caso de Minimización: De las variables NO Básicas, se escoge la casilla con
el valor más positivo, así se ira determinando la variable de entrada hasta que
todos los valores de las variables NO básicas sean <=0. Si se encuentra un
cero implica que hay solución múltiple.
Para
el Caso de Maximización: De las Variables NO Básicas, se escogerá la casilla
con el valor MÁS NEGATIVO, así se irá determinando la variable de entrada,
usando el mismo criterio que el método Simplex. Este proceso terminará hasta
que los valores de las variables NO básicas sean >=0. Si se encuentra un
cero implica que hay solución Múltiple.
La variable de entrada de
nuestro problema se ilustra a continuación:
Como
observamos todos lo valores de las Variables NO Básicas son Positivos, lo cual
implica que la solución Actual es la Óptima.
Criterio para determinar la Variable
de Salida:
Para
el Caso de Minimización: Se realiza la construcción de un ciclo que inicia y
termina en la variable de entrada, se toma un valor theta, que es el mínimo de los valores de las variables no básicas
que tengan un -theta. Entonces la variable de salida será aquella a la que
corresponda dicho valor mínimo.
Para
el Caso de Maximización: Se sigue exactamente el mismo proceso debido a que no
afecta para nada el que se trate de un caso de maximización, análogamente con
el método simplex.
Solución Óptima:
X11=10
|
X12=10
|
X13=10
|
X14=5
|
X21=0
|
X22=0
|
X23=0
|
X24=50
|
Z=1500
|
|||
Interpretación:
Se
deben enviar:
v 10 suministros
médicos de la planta 1 al cliente 1
v 10 suministros
médicos de la planta 1 al cliente 2
v 10 suministros
médicos de la planta 1 al cliente 3
Las columna ficticia de la
tabla de transporte con valores: X14=5 y X24=50 son los 55 suministros médicos que tienen de más
las plantas (oferta).
