domingo, 9 de septiembre de 2012

¿Quién inventó el Algoritmo de Kruskal?


¿Quién inventó el Algoritmo de Kruskal?


*Joseph Bernard Kruskal, Jr*


Joseph Bernard Kruskal, Jr. (29 enero 1928 a 19 septiembre 2010) fue un estadounidense matemático , estadístico , científico de la computación y la psicometría . Él era un estudiante de la Universidad de Chicago y en la Universidad de Princeton , donde completó su doctorado en 1954, nominalmente bajo Albert W. Tucker y Lyndon Roger , pero de facto en el Paul Erdős con quien tuvo dos conversaciones muy cortas.  Kruskal ha trabajado en bien cuasi-ordenamientos y escalamiento multidimensional .
Él era un miembro de la American Statistical Association , ex presidente de la Sociedad de la psicométrica , y ex presidente de la Sociedad de Clasificación de América del Norte . También inició y fue el primer presidente del Consejo de Vivienda Justa de South Orange y Maplewood en 1963, y apoyó activamente los derechos civiles en varias otras organizaciones.
En las estadísticas, el trabajo más influyente de Kruskal es su contribución fundamental a la formulación de escalamiento multidimensional . En informática, su trabajo más conocido es el algoritmo de Kruskal para calcular el árbol de expansión mínima (MST) de un grafo ponderado . El algoritmo de las primeras órdenes de los bordes de peso y luego procede a través de la lista ordenada añadir un borde para el MST parcial, siempre que la adición de la nueva arista no crea un ciclo. Árboles de expansión mínimos tienen aplicaciones en la construcción y los precios de las redes de comunicación. En la combinatoria, es conocido por el teorema de árboles de Kruskal (1960), que también es interesante desde una lógica matemática punto de vista, ya que sólo se puede probar nonconstructively. Kruskal también se aplica a su trabajo en la lingüística, en un modelo experimental lexicostatistical estudio de las indoeuropeas lenguas, junto con el lingüistas Dyen Isidoro y Negro Pablo. Su base de datos sigue siendo ampliamente utilizado (disponible en el enlace de abajo).
Kruskal nació en la ciudad de Nueva York a un mayorista de pieles con éxito, Joseph B. Kruskal, Sr. Su madre, Lillian Rose Vorhaus Kruskal Oppenheimer , se convirtió en un promotor conocido de Origami en la época temprana de la televisión. Murió en Princeton .

José Kruskal no se debe confundir con sus dos hermanos David Martin Kruskal (1925-2006, co-inventor de solitones y números surreales ) y William Kruskal (1919-2005, desarrolló la prueba de Kruskal-Wallis de una vía de análisis de la varianza ), o su sobrino Clyde Kruskal.

Referencias:

v  Joseph Bernard Kruskal, Jr. [en línea]. < http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Kruskal >. Consulta: Septiembre 9, 2012
v Joseph Bernard Kruskal, Jr. [en línea]. < http://www.in.com/joseph-kruskal/biography-333016.html >. Consulta: Septiembre 9, 2012
v[Anónimo]. Joseph Bernard Kruskal, Jr. [Imagen]. Recuperado de: <http://tinyurl.com/chl7o3t>.Septiembre 9, 2012.

¿Quién inventó el Algoritmo de Prim?


¿Quién inventó el Algoritmo de Prim?

*Robert Prim Clay *


Robert Prim Clay (nacido en 1921 en Sweetwater , Texas, ) es un americano matemático y científico de la computación.

En 1941, Prim obtuvo su licenciatura en ingeniería eléctrica de la Universidad de Princeton . Más tarde, en 1949, recibió su Ph.D. en Matemáticas allí también. Prim Robert trabajó en la Universidad de Princeton desde 1948 hasta 1949 como investigador asociado.


Durante el apogeo de la Segunda Guerra Mundial (1941-1944), Prim trabajó como ingeniero para General Electric.
Desde 1944 hasta 1949, fue contratado por el Laboratorio de Artillería Naval de los Estados Unidos como un ingeniero y un matemático posterior.
En los Laboratorios Bell , se desempeñó como director de investigación de matemáticas 1958 a 1961. Allí, Prim desarrollo el algoritmo de Prim. Después de los Laboratorios Bell, Prim se convirtió en vicepresidente de investigación de los Laboratorios Nacionales Sandia.
Durante su carrera en los Laboratorios Bell, Robert Prim junto con un compañero de trabajo José Kruskal desarrollado dos algoritmos diferentes (ver algoritmo codicioso ) para encontrar un árbol de expansión mínimo en un promedio ponderado gráfico , un bloque básico de tropiezo en diseño por ordenador de la red. Su algoritmo propio nombre, el algoritmo de Prim, fue descubierto originalmente en 1930 por el matemático Vojtěch Jarnik más tarde y de forma independiente por Prim en 1957. Fue redescubierto después por Edsger Dijkstra en 1959. Se refiere a veces como el algoritmo DJP o el algoritmo de Jarnik.
El algoritmo de Prim es un algoritmo perteneciente a la teoría de los grafos para encontrar un árbol recubridor mínimo en un grafo conexo, no dirigido y cuyas aristas están etiquetadas.
En otras palabras, el algoritmo encuentra un subconjunto de aristas que forman un árbol con todos los vértices, donde el peso total de todas las aristas en el árbol es el mínimo posible. Si el grafo no es conexo, entonces el algoritmo encontrará el árbol recubridor mínimo para uno de los componentes conexos que forman dicho grafo no conexo.
El algoritmo fue diseñado en 1930 por el matemático Vojtech Jarnik y luego de manera independiente por el científico computacional Robert C. Prim en 1957 y redescubierto por Dijkstra en 1959. Por esta razón, el algoritmo es también conocido como algoritmo DJP o algoritmo de Jarnik.
El algoritmo incrementa continuamente el tamaño de un árbol, comenzando por un vértice inicial al que se le van agregando sucesivamente vértices cuya distancia a los anteriores es mínima. Esto significa que en cada paso, las aristas a considerar son aquellas que inciden en vértices que ya pertenecen al árbol.
El árbol recubridor mínimo está completamente construido cuando no quedan más vértices por agregar.


Referencias:

v Significado de PRIM. [en línea]. < http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Prim >. Consulta: Octubre, 2012
v  "Robert C. Prim." Wikipedia. Wikimedia Foundation, 22 Mar. 2012. Web. 09 Sept. 2012 <http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_C._Prim> 
v Robert C. Prim. Digital image. N.p., n.d. Web. 9 Sept. 2012. <http://tinyurl.com/9ntfcgh>.


jueves, 6 de septiembre de 2012

Participación 8_Unidad I


Participación 8

*Resolución de Problemas de Transporte*

Se hace un mantenimiento preventivo periódico a motores de aviones, donde se debe cambiar un componente importante. La cantidad de motores programados para ese mantenimiento, durante los seis meses siguientes, se estima en 200, 180, 300, 198, 230 y 290 respectivamente. Todo el trabajo de mantenimiento se hace durante los dos primeros días del mes, cuando se puede cambiar un componente usado por uno nuevo, o por un componente reconstruido. La reconstrucción de los componentes usados se puede hacer en un taller local, y cuando salen están listos para usarse al principio del mes siguiente, o bien se pueden mandar a un taller central y en ese caso hay una espera de tres meses (que incluye al mes en que se hace el mantenimiento). El costo de reparación en el taller local es de $120 por componente. En el taller central el costo sólo es de $35 por componente. Un componente reconstruido que se usa en algún mes posterior causará un costo adicional de almacenamiento de $1.50 por unidad y por mes. Los componentes nuevos se pueden comprar a un costo de $200 cada uno, en el mes 1 y con 5% de aumento en el precio cada dos meses. Formular el problema, resolverlo utilizando algún paquete computacional.

SOLUCIÓN:

Primeramente plantearemos la Tabla de Transporte:


Ahora, teniendo en cuenta que para encontrar la solución inicial tenemos 3 métodos (Esquina Noroeste, Costos Mínimos y Vogel), utilizaremos EL MÉTODO DE VOGEL debido a que es el más eficiente y más cercano a la solución óptima y además por el tamaño de la tabla permitirá ahorrarnos iteraciones en el método de multiplicadores.



La siguiente tabla muestra las penalizaciones:


Ahora bien, teniendo la solución inicia procederemos a aplicar el método de multiplicadores para encontrar la variable de entrada y variable de entrada.



Como todos los valores de las variables NO BÁSICAS son < 0 (criterio de variable de Entrada para el Caso de Minimización), podemos decir que hemos llegado a la solución óptima.

X11=200
X12=180
X13=300
X24=198
X35=230
X46=290
X17=718
X27=1000
X37=788
X47=428
X57=520
X67=290
Z=97230


COMPARACIÓN DE RESULTADOS CON PAQUETE COMPUTACIONAL:

Se utilizó el paquete computacional WinQSB.

Con la aplicación de la Tabla de transporte:



Procesando los datos se obtuvieron los siguientes resultados:



Con lo cual comprobamos que nuestra solución es correcta ya que es la misma.

INTERPRETACIÓN:

Se debe dar mantenimiento a:

  v  200 motores el mes 1 para el mes 1
  v  200 motores el mes 1 para el mes 2
  v  200 motores el mes 1 para el mes 3
  v  200 motores el mes 2 para el mes 4
  v  200 motores el mes 3 para el mes 5
  v  200 motores el mes 4 para el mes 6

Con un Costo Mínimo de: $97 230.00




Participación 2_Unidad I


Participación 2 

“Problema de Transporte Adicional”

Joshop desea asignar cuatro categorías diferentes de maquinas a cinco tipos de tareas. La cantidad de maquinas disponibles en las cuatro categorías son 25, 30, 20 y 30. La cantidad de operaciones en las cinco tareas son 20, 20, 30, 10 y 25. A la categoría de la máquina 4 no se le pude asignar la tarea de tipo 4. La siguiente tabla proporciona el costo unitario (en dólares) de asignar una categoría de máquina a un tipo de tarea. El objetivo del problema es determinar la cantidad óptima de máquinas en cada categoría que se ha de asignar a cada tipo de tarea. Plantear los tres modelos.

Categoría de Máquina
Tarea1
Tarea 2
Tarea 3
Tarea 4
Tarea 5
1
10
2
3
15
9
2
5
10
15
2
4
3
15
5
14
7
15
4
20
15
13
--
8

Red:


Modelo de Programación Lineal:

Xij: # de máquinas de la Tarea i a asignar a la tarea j

F.O   

Min z=10x11+2x12+3x13+15x14+9x15+5x21+10x22+15x23+2x24+4x25+
           15x31+5x32+14x33+7x34+15x35+20x41+15x42+13x43+8x45

S.A:

Restricciones que me limitan la Oferta
Restricciones que me limitan la Demanda
x11+x12+x13+x14+x15=25
x11+ x21+ x31+x41=20
x21+x22+x23+x24+x25=30
x12+ x22+ x32+x42=20
x31+x32+x33+x34+x35=20
x13+ x23+ x33+x43=30
x41+x42+x43          +x45=30
x14+ x24+ x34      =10

x15+ x25+ x35+x45=25
Restricciones Estructurales
xij ≥ 0   ;   xij € Z

 Tabla de Transporte: